分形几何法----表面粗糙度测量

最近，分形几何法成为表面粗糙度测量法的热门，国内外在表征和研究机加工表面的微观结构、接触机理和表面粗糙度等方面越来越多地使用分形几何法这一有力的数学工具。研究表明，很多种机加工表面呈现出随机性、多尺度性和自仿射性，即具有分形的基本特征，因而使用分形几何法来研究表面形貌将是合理地、有效地。确定分形的重要参数有分形维数D和特征长度A，它们可以衡量机加工表面轮廓的不规则性，理论上不随取样长度变化和仪器分辨率变化，并能反映表面形貌本质的特征，能够提供传统的表面粗糙度评定参数(如Ra、Ry、Rz等)所不能提供的信息。美国TopoMetrix公司生产的扫描探针显微镜(SPM)软件体系中，已将分形维数作为评价表面微观形貌的参数之一。

机械加工表面分形维数表达了表面所具有的复杂结构的多少以及这些结构的微细程度，微细结构在整个表面中所占能量的相对大小。分形维数越大，表面中非规则的结构就越多，并且结构越精细，精细结构所具有的能量相对越大，具有更强的填充空间的能力。

Mandelbrot于1982年在Weierstrass函数基础上提出一种分形曲线的函数表达式，称为Weierstrass-Mandelbrot函数，结合工程表面的特性，往往将W-M函数写成如下形式。

Z(x)为机械加工表面轮廓。这样，就在工程表面的函数描述中引入了分形维数D这一参数，式中rn是表面上各次谐波的频率。它的取值范围取决于采样长度L和采样的最高分辨率，即截止频率，A为特征长度。对W-M函数求功率谱可以得到

轮廓的功率谱服从幂定律，在式(2)两端取对数为

B=2(D-1)lgA-lg(2lnr)
k=2D-5

在双对数坐标lgs(w)-lgw中，k是斜率，w是截距，从上式可以看出分形维数D决定着图线的斜率，特征长度A和分形维数D决定着图线的位置(截距)。因此对于机械加工表面，可以通过其双对数坐标下的功率谱图，由(3)式算得分形维数D和特征长度A。

分形几何法在实际应用中还有许多工作有待进一步研究。一是并非所有表面都具有分形特征，分形维数能否完全表征实际表面，还有待进一步研究；二是现有的分形数学模型并没有考虑表面的功能特性，也没有一种方法能唯一确定分形参数。

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